{"id":377,"date":"2023-01-23T14:13:58","date_gmt":"2023-01-23T14:13:58","guid":{"rendered":"http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/?post_type=chapter&#038;p=377"},"modified":"2023-01-24T10:57:46","modified_gmt":"2023-01-24T10:57:46","slug":"stany-nieustalone-wprowadzenie-teoretyczne","status":"publish","type":"chapter","link":"http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/chapter\/stany-nieustalone-wprowadzenie-teoretyczne\/","title":{"raw":"Wprowadzenie Teoretyczne","rendered":"Wprowadzenie Teoretyczne"},"content":{"raw":"<p align=\"justify\">Zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan obwodu RLC, w kt\u00f3rym pr\u0105d i napi\u0119cie s\u0105 ze sob\u0105 w fazie. W stanie rezonansu przesuni\u0119cie fazowe pr\u0105du i napi\u0119cia jest zerowe, co oznacza, \u017ce argument impedancji lub admitancji zespolonej obwodu jest tak\u017ce r\u00f3wny zeru. Obw\u00f3d nie pobiera \u017cadnej mocy biernej a \u015bci\u015ble m\u00f3wi\u0105c nast\u0119puje zjawisko kompensacji tej mocy. Moc bierna indukcyjna obwodu jest r\u00f3wna mocy pojemno\u015bciowej. Poniewa\u017c znaki mocy biernej indukcyjnej i pojemno\u015bciowej s\u0105 przeciwne, w warunkach rezonansu ca\u0142kowita moc bierna jest zerowa.<\/p>\r\n\r\n<h3><strong>Rezonans napi\u0119\u0107 w obwodzie RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym<\/strong><\/h3>\r\nW obwodzie szeregowym RLC w stanie rezonansu reaktancja wypadkowa obwodu jest r\u00f3wna zeru. W obwodzie r\u00f3wnoleg\u0142ym w stanie rezonansu cz\u0119\u015b\u0107 urojona admitancji (czyli admitancja) by\u0142a r\u00f3wna zeru. Cz\u0119stotliwo\u015b\u0107, przy kt\u00f3rej cz\u0119\u015b\u0107 urojona impedancji lub admitancji obwodu znika jest nazywana cz\u0119stotliwo\u015bci\u0105 rezonansow\u0105.\r\n\r\nRezonans wyst\u0105pi\u0107 mo\u017ce w dowolnej konfiguracji element\u00f3w RLC, warunkiem rezonansu zawsze jest przyr\u00f3wnanie do zera impedancji zast\u0119pczej obwodu (dla rezonansu szeregowego) lub przyr\u00f3wnanie do zera admitancji zast\u0119pczej obwodu (dla rezonansu r\u00f3wnoleg\u0142ego).\r\n\r\nRezonans wyst\u0119puj\u0105cy w obwodzie, w kt\u00f3rym elementy R, L, C s\u0105 po\u0142\u0105czone szeregowo nazywamy rezonansem napi\u0119\u0107 lub rezonansem szeregowym. W przypadku, gdy rezonans dotyczy obwodu r\u00f3wnoleg\u0142ego R, L, C taki rezonans nazywamy rezonansem pr\u0105d\u00f3w lub rezonansem r\u00f3wnoleg\u0142ym. Rysunek 1 przedstawia szeregowy obw\u00f3d rezonansowy RLC.\r\n\r\n[caption id=\"attachment_379\" align=\"aligncenter\" width=\"644\"]<img src=\"http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/wp-content\/uploads\/sites\/42\/2023\/01\/Obwod-szeregowy-RLC-i-jego-wykres-wektorowy-dla-stanu-rezonansu.png\" alt=\"Rysunek 1. Obw\u00f3d szeregowy RLC i jego wykres wektorowy dla stanu rezonansu\" width=\"644\" height=\"158\" class=\"wp-image-379 size-full\" title=\"Rysunek 1. Obw\u00f3d szeregowy RLC i jego wykres wektorowy dla stanu rezonansu\" \/> Rysunek 1. Obw\u00f3d szeregowy RLC i jego wykres wektorowy dla stanu rezonansu[\/caption]\r\n\r\nDla obwodu szeregowego\r\n<p style=\"text-align: center\">[latex]U=U_{R} +U_{L} +U_{C} =[ R+j( X_{L} -X_{C})] I=ZI[\/latex]<\/p>\r\n<p style=\"text-align: left\">Rezonans wyst\u0105pi wtedy, gdy \u03a6=0, czyli reaktancja obwodu X=0. Odpowiada to warunkowi<\/p>\r\n<p style=\"text-align: center\">[latex]Im( Z) =0[\/latex]<\/p>\r\n<p style=\"text-align: center\">[latex]X_{L} =X_{C}[\/latex] lub [latex]\\omega L=\\frac{1}{\\omega C}[\/latex]<\/p>\r\nCz\u0119stotliwo\u015b\u0107, przy kt\u00f3rej jest spe\u0142niony ten warunek jest cz\u0119stotliwo\u015bci\u0105 rezonansow\u0105 obwodu i wynosi\r\n<p style=\"text-align: center\">[latex]f_{0} =\\frac{1}{2\\pi \\sqrt{LC}}[\/latex]<\/p>\r\na pulsacja rezonansowa\r\n<p style=\"text-align: center\">[latex]\\omega _{0} =\\frac{1}{\\sqrt{LC}}[\/latex]<\/p>\r\nW obwodzie szeregowym dobroci\u0105 nazywamy stosunek napi\u0119cia na elemencie reaktancyjnym (cewce lub kondensatorze) do napi\u0119cia na elemencie rezystancyjnym w stanie rezonansu (dla cz\u0119stotliwo\u015bci rezonansowej).\r\n<p style=\"text-align: center\">[latex]Q=\\frac{U_{L}}{U_{R}} =\\frac{U_{C}}{U_{R}} =\\frac{\\omega _{0} L}{R} =\\frac{1}{\\omega _{0} C}[\/latex]<\/p>\r\n&nbsp;\r\n\r\nRysunek 2 przedstawia wykresy wektorowe dla obwodu szeregowego RLC i odpowiadaj\u0105ce im dw\u00f3jniki obwodu rezonansowego RLC dla r\u00f3\u017cnych cz\u0119stotliwo\u015bci. Stanom tym mo\u017cna przypisa\u0107 obwody zast\u0119pcze przedstawione na rysunku.\r\n<ul>\r\n \t<li>cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 mniejsza od rezonansowej \u03c9&lt;\u03c9<sub>0 <\/sub>\u2014 charakter indukcyjny obwodu,<\/li>\r\n \t<li>cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 rezonansowa\u00a0 \u03c9=\u03c9<sub>0 <\/sub>\u2014 obw\u00f3d ma charakter rezystancyjny,<\/li>\r\n \t<li>cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 wi\u0119ksza od rezonansowej \u03c9&gt;\u03c9<sub>0 <\/sub>\u2014 charakter pojemno\u015bciowy obwodu.<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<h3><strong>Rozk\u0142ad funkcji okresowej na szereg Fouriera<\/strong><\/h3>\r\n<h4><strong>Twierdzenie Fouriera<\/strong><\/h4>\r\nKa\u017cd\u0105 funkcj\u0119 okresow\u0105 f(t) o okresie T mo\u017cna przedstawi\u0107 w postaci szeregu (sumy) utworzonego ze sk\u0142adowej sta\u0142ej oraz funkcji sinusoidalnych o cz\u0119stotliwo\u015bciach k<sub>f<\/sub> ([latex]f=\\frac{1}{T}[\/latex]) je\u015bli funkcja ta spe\u0142nia warunki Dirichleta, czyli w przedziale 0-T jest bezwzgl\u0119dnie ca\u0142kowalna, czyli:\r\n<p style=\"text-align: center\">[latex]\\int\\limits _{T}| f( t)| dt&lt; \\infty [\/latex]<\/p>\r\n<p align=\"justify\"><span style=\"color: #000000\">oraz ma sko\u0144czon\u0105 liczb\u0119 maksim\u00f3w i minim\u00f3w; i co najwy\u017cej sko\u0144czon\u0105 liczb\u0119 punkt\u00f3w nieci\u0105g\u0142o\u015bci <\/span><span style=\"color: #000000\"><i>t<\/i><\/span><span style=\"color: #000000\"><sub><i>k<\/i><\/sub><\/span><span style=\"color: #000000\">, przy czym w ka\u017cdym punkcie nieci\u0105g\u0142o\u015bci istniej\u0105 sko\u0144czone granice prawostronna i lewostronna a warto\u015b\u0107 funkcji w tym punkcie przyjmuje si\u0119 jako \u015bredni\u0105 arytmetyczn\u0105 granicy lewo- i prawostronnej, to jest:<\/span><\/p>\r\n<p style=\"text-align: center\" align=\"justify\">[latex]f( t_{k}) =\\frac{1}{2}[ f( t_{k-}) +f( t_{k+})][\/latex]<\/p>\r\n<p align=\"justify\"><span style=\"color: #000000\">Szereg taki jest <\/span><span style=\"color: #000000\">szeregiem trygonometrycznym Fouriera.<\/span><\/p>\r\n<p align=\"justify\">Okres harmonicznej podstawowej jest identyczny z okresem przebiegu niesinusoidalnego f(t). Cz\u0119stotliwo\u015bci kolejnych harmonicznych s\u0105 wielokrotno\u015bci\u0105 cz\u0119stotliwo\u015bci harmonicznej podstawowej, czyli \u03c9<sub>k<\/sub>=k\u03c9.<\/p>","rendered":"<p style=\"text-align: justify;\">Zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan obwodu RLC, w kt\u00f3rym pr\u0105d i napi\u0119cie s\u0105 ze sob\u0105 w fazie. W stanie rezonansu przesuni\u0119cie fazowe pr\u0105du i napi\u0119cia jest zerowe, co oznacza, \u017ce argument impedancji lub admitancji zespolonej obwodu jest tak\u017ce r\u00f3wny zeru. Obw\u00f3d nie pobiera \u017cadnej mocy biernej a \u015bci\u015ble m\u00f3wi\u0105c nast\u0119puje zjawisko kompensacji tej mocy. Moc bierna indukcyjna obwodu jest r\u00f3wna mocy pojemno\u015bciowej. Poniewa\u017c znaki mocy biernej indukcyjnej i pojemno\u015bciowej s\u0105 przeciwne, w warunkach rezonansu ca\u0142kowita moc bierna jest zerowa.<\/p>\n<h3><strong>Rezonans napi\u0119\u0107 w obwodzie RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym<\/strong><\/h3>\n<p>W obwodzie szeregowym RLC w stanie rezonansu reaktancja wypadkowa obwodu jest r\u00f3wna zeru. W obwodzie r\u00f3wnoleg\u0142ym w stanie rezonansu cz\u0119\u015b\u0107 urojona admitancji (czyli admitancja) by\u0142a r\u00f3wna zeru. Cz\u0119stotliwo\u015b\u0107, przy kt\u00f3rej cz\u0119\u015b\u0107 urojona impedancji lub admitancji obwodu znika jest nazywana cz\u0119stotliwo\u015bci\u0105 rezonansow\u0105.<\/p>\n<p>Rezonans wyst\u0105pi\u0107 mo\u017ce w dowolnej konfiguracji element\u00f3w RLC, warunkiem rezonansu zawsze jest przyr\u00f3wnanie do zera impedancji zast\u0119pczej obwodu (dla rezonansu szeregowego) lub przyr\u00f3wnanie do zera admitancji zast\u0119pczej obwodu (dla rezonansu r\u00f3wnoleg\u0142ego).<\/p>\n<p>Rezonans wyst\u0119puj\u0105cy w obwodzie, w kt\u00f3rym elementy R, L, C s\u0105 po\u0142\u0105czone szeregowo nazywamy rezonansem napi\u0119\u0107 lub rezonansem szeregowym. W przypadku, gdy rezonans dotyczy obwodu r\u00f3wnoleg\u0142ego R, L, C taki rezonans nazywamy rezonansem pr\u0105d\u00f3w lub rezonansem r\u00f3wnoleg\u0142ym. Rysunek 1 przedstawia szeregowy obw\u00f3d rezonansowy RLC.<\/p>\n<figure id=\"attachment_379\" aria-describedby=\"caption-attachment-379\" style=\"width: 644px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img src=\"http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/wp-content\/uploads\/sites\/42\/2023\/01\/Obwod-szeregowy-RLC-i-jego-wykres-wektorowy-dla-stanu-rezonansu.png\" alt=\"Rysunek 1. Obw\u00f3d szeregowy RLC i jego wykres wektorowy dla stanu rezonansu\" width=\"644\" height=\"158\" class=\"wp-image-379 size-full\" title=\"Rysunek 1. Obw\u00f3d szeregowy RLC i jego wykres wektorowy dla stanu rezonansu\" srcset=\"http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/wp-content\/uploads\/sites\/42\/2023\/01\/Obwod-szeregowy-RLC-i-jego-wykres-wektorowy-dla-stanu-rezonansu.png 644w, http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/wp-content\/uploads\/sites\/42\/2023\/01\/Obwod-szeregowy-RLC-i-jego-wykres-wektorowy-dla-stanu-rezonansu-300x74.png 300w, http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/wp-content\/uploads\/sites\/42\/2023\/01\/Obwod-szeregowy-RLC-i-jego-wykres-wektorowy-dla-stanu-rezonansu-65x16.png 65w, http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/wp-content\/uploads\/sites\/42\/2023\/01\/Obwod-szeregowy-RLC-i-jego-wykres-wektorowy-dla-stanu-rezonansu-225x55.png 225w, http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/wp-content\/uploads\/sites\/42\/2023\/01\/Obwod-szeregowy-RLC-i-jego-wykres-wektorowy-dla-stanu-rezonansu-350x86.png 350w\" sizes=\"(max-width: 644px) 100vw, 644px\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-379\" class=\"wp-caption-text\">Rysunek 1. Obw\u00f3d szeregowy RLC i jego wykres wektorowy dla stanu rezonansu<\/figcaption><\/figure>\n<p>Dla obwodu szeregowego<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">[latex]U=U_{R} +U_{L} +U_{C} =[ R+j( X_{L} -X_{C})] I=ZI[\/latex]<\/p>\n<p style=\"text-align: left\">Rezonans wyst\u0105pi wtedy, gdy \u03a6=0, czyli reaktancja obwodu X=0. Odpowiada to warunkowi<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">[latex]Im( Z) =0[\/latex]<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">[latex]X_{L} =X_{C}[\/latex] lub [latex]\\omega L=\\frac{1}{\\omega C}[\/latex]<\/p>\n<p>Cz\u0119stotliwo\u015b\u0107, przy kt\u00f3rej jest spe\u0142niony ten warunek jest cz\u0119stotliwo\u015bci\u0105 rezonansow\u0105 obwodu i wynosi<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">[latex]f_{0} =\\frac{1}{2\\pi \\sqrt{LC}}[\/latex]<\/p>\n<p>a pulsacja rezonansowa<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">[latex]\\omega _{0} =\\frac{1}{\\sqrt{LC}}[\/latex]<\/p>\n<p>W obwodzie szeregowym dobroci\u0105 nazywamy stosunek napi\u0119cia na elemencie reaktancyjnym (cewce lub kondensatorze) do napi\u0119cia na elemencie rezystancyjnym w stanie rezonansu (dla cz\u0119stotliwo\u015bci rezonansowej).<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">[latex]Q=\\frac{U_{L}}{U_{R}} =\\frac{U_{C}}{U_{R}} =\\frac{\\omega _{0} L}{R} =\\frac{1}{\\omega _{0} C}[\/latex]<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Rysunek 2 przedstawia wykresy wektorowe dla obwodu szeregowego RLC i odpowiadaj\u0105ce im dw\u00f3jniki obwodu rezonansowego RLC dla r\u00f3\u017cnych cz\u0119stotliwo\u015bci. Stanom tym mo\u017cna przypisa\u0107 obwody zast\u0119pcze przedstawione na rysunku.<\/p>\n<ul>\n<li>cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 mniejsza od rezonansowej \u03c9&lt;\u03c9<sub>0 <\/sub>\u2014 charakter indukcyjny obwodu,<\/li>\n<li>cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 rezonansowa\u00a0 \u03c9=\u03c9<sub>0 <\/sub>\u2014 obw\u00f3d ma charakter rezystancyjny,<\/li>\n<li>cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 wi\u0119ksza od rezonansowej \u03c9&gt;\u03c9<sub>0 <\/sub>\u2014 charakter pojemno\u015bciowy obwodu.<\/li>\n<\/ul>\n<h3><strong>Rozk\u0142ad funkcji okresowej na szereg Fouriera<\/strong><\/h3>\n<h4><strong>Twierdzenie Fouriera<\/strong><\/h4>\n<p>Ka\u017cd\u0105 funkcj\u0119 okresow\u0105 f(t) o okresie T mo\u017cna przedstawi\u0107 w postaci szeregu (sumy) utworzonego ze sk\u0142adowej sta\u0142ej oraz funkcji sinusoidalnych o cz\u0119stotliwo\u015bciach k<sub>f<\/sub> ([latex]f=\\frac{1}{T}[\/latex]) je\u015bli funkcja ta spe\u0142nia warunki Dirichleta, czyli w przedziale 0-T jest bezwzgl\u0119dnie ca\u0142kowalna, czyli:<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">[latex]\\int\\limits _{T}| f( t)| dt< \\infty[\/latex]<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span style=\"color: #000000\">oraz ma sko\u0144czon\u0105 liczb\u0119 maksim\u00f3w i minim\u00f3w; i co najwy\u017cej sko\u0144czon\u0105 liczb\u0119 punkt\u00f3w nieci\u0105g\u0142o\u015bci <\/span><span style=\"color: #000000\"><i>t<\/i><\/span><span style=\"color: #000000\"><sub><i>k<\/i><\/sub><\/span><span style=\"color: #000000\">, przy czym w ka\u017cdym punkcie nieci\u0105g\u0142o\u015bci istniej\u0105 sko\u0144czone granice prawostronna i lewostronna a warto\u015b\u0107 funkcji w tym punkcie przyjmuje si\u0119 jako \u015bredni\u0105 arytmetyczn\u0105 granicy lewo- i prawostronnej, to jest:<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center; text-align: justify;\">[latex]f( t_{k}) =\\frac{1}{2}[ f( t_{k-}) +f( t_{k+})][\/latex]<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span style=\"color: #000000\">Szereg taki jest <\/span><span style=\"color: #000000\">szeregiem trygonometrycznym Fouriera.<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Okres harmonicznej podstawowej jest identyczny z okresem przebiegu niesinusoidalnego f(t). Cz\u0119stotliwo\u015bci kolejnych harmonicznych s\u0105 wielokrotno\u015bci\u0105 cz\u0119stotliwo\u015bci harmonicznej podstawowej, czyli \u03c9<sub>k<\/sub>=k\u03c9.<\/p>\n","protected":false},"author":41,"menu_order":1,"template":"","meta":{"pb_show_title":"on","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":["roszczyk","siwek"],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[60,61],"license":[],"part":222,"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/377"}],"collection":[{"href":"http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/wp-json\/wp\/v2\/users\/41"}],"version-history":[{"count":5,"href":"http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/377\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":383,"href":"http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/377\/revisions\/383"}],"part":[{"href":"http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/222"}],"metadata":[{"href":"http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/377\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=377"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=377"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=377"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"http:\/\/pb.ee.pw.edu.pl\/pb\/tob\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=377"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}